やる夫で学ぶディジタル信号処理
フーリエ級数
周期的な関数: \(f(t)\)
周期: \(T_0\)
範囲: \(-\frac{T_0}{2}\)~\(\frac{T_0}{2}\) (他区間は繰り返しの為)
sin, cosより構成されているとすると
\[
f(t) = a_0+\Sigma_{k=1}^{\infty}\{a_kcos(\frac{2\pi k}{T_0}t)+b_ksin(\frac{2\pi k}{T_0}t)\}
\tag{1}
\]
基本角周波数: \(\Omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\) (k=1の角周波数)
基本周期: \(T_0\)
基本角周波数を用いると
\[
f(t) = a_0+\Sigma_{k=1}^{\infty}\{a_kcos(\Omega_0kt)+b_ksing(\Omega_0kt)\}
\tag{2}
\]
ex.基本周期\(T_0=0.01[sec]\)のとき
基本角周波数\(\Omega_0=\frac{2\pi}{0.01}=2\pi\times100 [rad/s]\)より
基本周波数: \(100[Hz]\)
\(f(t)\)を構成する波は100, 200, 300, ...100n[Hz]となる
上記の(1)式について、\(f(t)\)をフーリエ級数に展開するという
\(a_k,b_k\): フーリエ係数
フーリエ係数
フーリエ係数を求めるにあたって式変形にて求めるフーリエ係数以外を消す
両辺を積分、右辺の積分と総和を入れ替え可能とすると
\[
\begin{align}
\int_{-T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt &= \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\{a_0+\Sigma_{k=1}^{\infty}\{a_kcos(\frac{2\pi k}{T_0}t)+b_ksin(\frac{2\pi k}{T_0}t)\}\}dt \\
&= \int_{-T_0/2}^{T_0/2}a_0dt + \Sigma_{k=1}^{\infty}\{\int_{-T_0/2}^{T_0/2}a_kcos(\frac{2\pi k}{T_0}t)dt+\int_{-T_0/2}^{T_0/2}b_ksin(\frac{2\pi k}{T_0}t)dt\}
\end{align}
\]
ここで範囲内にて各sin波cos波は\(n\)周期分ちょうどのため(\(n\):整数)
\[
\int_{-T_0/2}^{T_0/2}cos(\frac{2\pi k}{T_0})dt=\int_{-T_0/2}^{T_0/2}sin(\frac{2\pi k}{T_0})dt=0
\]
これは任意の整数\(k\)について成り立つ為
Reference
最終更新日:
August 14, 2023
作成日: August 14, 2023
作成日: August 14, 2023